Matematyka 
 
Podziel na dwa
MaT



W elektronice cyfrowej jedno z niezwykle istotnych miejsc zajmuje problem podzielenia częstotliwości zegarowej – przez 2.

Na czym polega liczenie? Z matematycznego punktu widzenia – na przyporządkowaniu kolejnym elementom zbioru – kolejnych liczb naturalnych. Niby proste, ale i liczby są w pewnym sensie abstrakcją i rozmyślając o liczbach – tak naprawdę wyobrażamy sobie ich zapis. To dlatego nieświadomie używamy skali logarytmicznej traktując długość zapisu jako „wielkość” liczny. Nawet liczebników uczymy się według skali logarytmicznej w której różnica między 9 i jedenaście jest taka sama jak między czterdzieści a sześćdziesiąt.

Wiem. Różnica w jednym wypadku wynosi 2 a w drugim dwadzieścia – czyli o rząd wielkości więcej, ale jeśli opowiadamy o liczbach zamiast wykonywać działania – odległości wyrażają się jakąś specyficzną metryką.

W pewnym sensie musimy tak o liczbach myśleć i tak je zapisywać, bo inna interpretacja – jest trudna do ogarnięcia myślą. No bo wyobraźmy sobie zbiór zawierający dokładnie 943 elementy. Proste? Nie sądzę. Jeśli chcemy pomyśleć o takim zbiorze – to wyobrażamy sobie po prostu bardzo dużo. Nawet jeśli ponumerujemy wszystkie elementy – i będziemy patrzeć na kilka pierwszych i ostatni – nasze wyobrażenie da się zapisać:

1, 2, 3, 4, 5, 6, …., 234, 235, …, 943.

To nie jest zbiór – tylko jego model.

Znacznie łatwiej wyobrazić sobie zbiory o mniejszej liczbie elementów. Na przykład tyle i ile mamy palców. Wtedy zbiory dziesięciu elementów będą tworzyły taki większy zbiór, a dokładnie dziesięć większych zbiorów – taki jeszcze większy. Teraz wystarczy policzyć zbiory każdego z rodzajów, i liczby nie są już takie straszne.

A że straszne być mogą – możemy się przekonać na przykładzie, opisanym w powieści {i Tomek Sawer” Marka Twaina. Jednym z opisywanych epizodów, było zdobycie przez tytułowego bohatera, Biblii, która była nagrodą za nauczenie się na pamięć 1000 wersetów. Oczywiście nikt nie proponował nauczenia się 1000 wersów, ale dawał nagrodę za każdy wers – niebieską karteczkę z cytatem z Pisma Świętego. Po zebraniu dziesięciu takich karteczek – można było je wymienić na jedną żółtą, a dziesięć żółtych – na jedną czerwoną. Za dziesięć czerwonych – dostawało się tanią Biblię, ale dostawało się ja jako nagrodę i przy wszystkich. Liczenie do dziesięciu było w porządku i podobno nawet był pewien chłopiec który zdobył w ten sposób osiem Biblii zanim nie zwariował. System ten działał całkiem sprawnie, tworząc przede wszystkim lokalną walutę.

Liczenie grupami jest doskonałym wynalazkiem pozwalającym na operowanie dowolnie dużymi liczbami, przy zachowania prostoty operacji. Dodawanie – nic prostszego. Wystarczy dodać poszczególne grupy i zobaczyć czy którejś nie jest za dużo. Jeśli tak – to 10 możemy połączyć w grupę o rząd większą. Tym właśnie jest przeniesienie przy dodawaniu pisemnym.

Ale wracając do liczenia, Jeśli liczymy po kolei to zwiększamy liczbę elementów w zbiorze reprezentującym liczbę. Jeśli doliczymy do dziesięciu – to łączymy wolne elementy w grupę. Jeśli takich grup jest już dziesięć, to łączymy je w grupę wyższego rzędu i tak dalej. Doliczenie do dziesięciu na dowolnej pozycji – powoduje przeniesienie na następną i wyzerowanie obecnej. Co dziesiąta zmiana, powoduje przeniesienie… Co dziesiąta? To przecież jest dzielenie przez 10!

Tak – to jest dzielenie i jeśli kiedykolwiek próbowaliśmy napisać program zamieniający liczbę na ciąg cyfr – to bez dzielenia sobie nie poradzimy. Podzielmy przez dziesięć – reszta z dzielenia da dam liczbę jednostek a wynik dzielenia – liczbę dziesiątek. Jeśli jest większa niż 10 – podzielmy przez 10. Teraz reszta z dzielenia da liczbę dziesiątek, a wynik liczbę setek. I tak dalej i tak dalej.

W systemie dziesiętnym liczymy do dziewięciu, i przy kolejnym zliczeniu – dostajemy przeniesienie. Do zapisu dowolnej liczny naturalnej wystarczy 10 znaków odpowiadających wszystkim możliwym resztom z dzielenia przez 10.

A jeśli umielibyśmy liczyć tylko do jednego? Zero, potem jeden. Kolejny element dałby w wyniku zero oraz informację, że należy zwiększyć wartość na kolejnej pozycji. Liczenie byłoby jeszcze prostsze, a ba palcach moglibyśmy doliczyć do 1023. Palec zgięty – to zero na odpowiadającej mu pozycji, wyprostowany – jeden.

Zauważmy, że zmiana stanu palca następowałaby po zliczeniu elementu zbioru. Zmiana, jeśli wymagałaby zgięcia (czyli co druga zmiana) byłaby zmianą kolejnego palca, a ponieważ na przemian zginamy i prostujemy palce – ilość zliczeni na kolejnych placach zmniejsza się o 2. Czy właśnie nie zbudowaliśmy ręcznego dzielnika częstotliwości.

Elektroniczne realizacje takich dzielników są stosunkowo proste. Wystarczy pamiętać jaki był poprzedni stan pojedynczego licznika i odpowiednio reagować. Element pamiętający – możemy zrealizować już na dwóch tranzystorach, choć wygodniej jest użyć odpowiednich układów scalonych zawierających czasem nawet kilkanaście takich dzielników.

Zliczanie dwójkowe jest podstawową operacją wykonywaną przez układy cyfrowe. Liczymy pozycje instrukcji programu który jest wykonywany, liczmy dane, czas, zewnętrzne zdarzenia. Ale dzielenie częstotliwości nie ogranicza się tylko do zliczania, ale także do synchronizacji generatorów wysokich częstotliwości, a także w muzyce – to budowy generatorów tonu dla polifonicznych elektronicznych instrumentów muzycznych.

 
Opinie
 
Facebook
 
  
2156 wyświetleń

numer 8/2017
2017-08-03

Od redakcji
Dydaktyka
Felieton
Film
Informatyka
Matematyka
Polityka
Rozmaitości
Sztuka życia

nowyOlimp.net na Twitterze

nowy Olimp - internetowe czasopismo naukowe dla młodzieży.
Kolegium redakcyjne: gaja@nowyolimp.net; hefajstos@nowyolimp.net